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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2,证明:|∫02f(x)dx|≤2.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2,证明:|∫02f(x)dx|≤2.
admin
2021-10-18
54
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2,证明:|∫
0
2
f(x)dx|≤2.
选项
答案
由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ
1
)x,其中0<ξ
1
<x,f(x)-f(2)=f’(ξ
2
)(x-2),其中x
2
ξ
2
<2,于是[*]从而∫
0
2
f(x)dx|≤∫
0
2
|f(x)|dx=∫
0
1
|f(x)|dx+∫
1
2
|f(x)|dx≤∫
0
2
2xdx+∫
1
2
2(2-x)dx=2.
解析
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考研数学二
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