设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2，证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2021-10-18 56

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2，证明：｜∫₀²f(x)dx｜≤2．

选项

答案由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ₁)x，其中0＜ξ₁＜x，f(x)-f(2)=f’(ξ₂)(x-2)，其中x₂ξ₂＜2，于是[*]从而∫₀²f(x)dx｜≤∫₀²｜f(x)｜dx=∫₀¹｜f(x)｜dx+∫₁²｜f(x)｜dx≤∫₀²2xdx+∫₁²2(2-x)dx=2．

解析

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考研数学二

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