2. 考研
  3. 设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，-k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，-k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

admin2018-06-27  55
问题 设A为反对称矩阵，则
(1)若k是A的特征值，-k一定也是A的特征值．
(2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0．
(3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．
选项
答案(1)若k是A的特征值，则k也是AT的特征值．而AT=-A，于是-k是A的特征值． (2)设η的特征值为λ，则Aη=λη． ληTη=ηTAη=(ATη)Tη=(-Aη)Tη=-ληTη． λ不为0，则ηTη=0． (3)A为实反对称矩阵，则由上例知道，-A2=ATA的特征值都是非负实数，从而A2的特征值都是非正实数．设λ是A的特征值，则λ2是λ2的特征值，因此λ2≤0，于是λ为0，或为纯虚数．
解析
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考研数学二

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