[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球.现在有放回地从袋中取两次,每次取一个,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数. 求P(X=1|Z=0);

admin2019-05-11  77

问题 [2009年]  袋中有一个红球、两个黑球、三个自球.现在有放回地从袋中取两次,每次取一个,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数.
求P(X=1|Z=0);  

选项

答案解一 P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球),该事件包括下述几种情况(考虑取球的次序):{X=1,Y=1}={第一次取到一红球,第二次取到一黑球}+{第一次取到一黑球,第二次取到一红球},共有C11C21+C21C11=4种取法; {X=2,Y=0}={第一次取到一红球,第二次取到一红球},共有C11C11=1种取法; {X=0,Y=2}={第一次取到一黑球,第二次取到一黑球},共有C11C21=4种取法. 由命题3.3.1.2知,两次取球有放回,每次取一个,取两次的样本空间Ω共含有nm=62个样本点,故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)/62=9/36=1/4,又 P(X=1,Z=0)=P(X=1,Y=1)=(C11C21+C21C11)/62=1/9. 故 P(X=1|Z=0)=P(X=1,Z=0)/P(Z=0)=(1/9)/(1/4)=4/9. 解二 P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下,取到一次红球),也可利用缩减样本空间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)/32=4/9. 注:命题3.3.1.2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个,这时得到的样本空间设为Ω,则此样本空间Ω共含有nm个样本点,即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm

解析
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