求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域 D上的最小值和最大值．

admin2018-01-23 83

问题求二元函数z＝f(x，y)＝x²y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域
D上的最小值和最大值．

选项

答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L₁：y＝0(0≤x≤6)上，z＝0；在L₂：x＝0(0≤y≤6)上，z＝0；在L₃：y＝6－x(0≤x≤6)上，z＝－2x²(6－x)＝2³－12x²．由[*]＝6x²－24x＝0得x＝4，因为f(0，6)＝0，f(6，0)＝0，f(4，2)＝－64，所以 f(x，y)在L₃上最小值为－64，最大值为0． (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2，1)， [*] 因为AC－B²＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大值点，极大值为f(2，1)＝4，故z＝f(x，y)在D上的最小值为m＝f(4，2)－64，最大值为M＝f(2，1)＝4．

解析

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考研数学三

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