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  3. 求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域 D上的最小值和最大值．

求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域 D上的最小值和最大值．

admin2018-01-23  53
问题 求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域
D上的最小值和最大值．
选项
答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值， 在L1：y＝0(0≤x≤6)上，z＝0； 在L2：x＝0(0≤y≤6)上，z＝0； 在L3：y＝6－x(0≤x≤6)上，z＝－2x2(6－x)＝23－12x2． 由[*]＝6x2－24x＝0得x＝4，因为f(0，6)＝0，f(6，0)＝0，f(4，2)＝－64，所以 f(x，y)在L3上最小值为－64，最大值为0． (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2，1)， [*] 因为AC－B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大值点，极大值为f(2，1)＝4， 故z＝f(x，y)在D上的最小值为m＝f(4，2)－64，最大值为M＝f(2，1)＝4．
解析
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考研数学三

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