计算n阶行列式，其中α≠β。

admin2019-08-12 40

问题计算n阶行列式

，其中α≠β。

选项

答案令D_n=[*]，则将该行列式按第一行展开得 [*] 再将上式中后面的n一1阶行列式按照第一列展开得D_n=(α+β)D_n—1一αβD_n—2，则 D_n一αD_n—1=β(D_n—1一αD_n—2)=β²(D_n—2一αD_n—3)=…=β^n一2(D₂一αD₁) =β^n—2[(α²+αβ+β²)一α(α+β)]=β’’，即D_n一αD_n—1=βⁿ， (1) 类似地D_n一βD_n—1=αⁿ， (2) (1)×β一(2)×α可得(β一α)D_n=βⁿ⁺¹一αⁿ⁺¹，所以D_n=[*]。 (其中上式还可以进一步化简为D_n=[*]=βⁿ+β^n—1α+β^n—2α²+…+βα^n—1+…+αⁿ=[*]β^n—iαⁱ)。

解析

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