2. 考研
  3. 设f(χ)＝(akcoskχ＋bksinkχ)，其中口ak，bk(k＝1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(χ)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f(m)(χ)在[0，2π)也必有两个相异的零点．

设f(χ)＝(akcoskχ＋bksinkχ)，其中口ak，bk(k＝1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(χ)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f(m)(χ)在[0，2π)也必有两个相异的零点．

admin2018-11-11  31
问题 设f(χ)＝(akcoskχ＋bksinkχ)，其中口ak，bk(k＝1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(χ)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f(m)(χ)在[0，2π)也必有两个相异的零点．
选项
答案(Ⅰ)令F(χ)＝[*]，显然F′(χ)＝f(χ)由于F(χ)是以2π为周期的可导函数，故F(χ)在[0，2π]上连续，从而必有最大值与最小值．设F(χ)分别在χ1，χ2达到最大值与最小值，且χ1≠χ2，χ1，χ2∈[0，2，π)，则F(χ1)，F(χ2)也是F(χ)在(－∞，＋∞)上的最大值，最小值，因此χ1，χ2必是极值点．又F(χ)可导，由费马定理知F′(χ1)＝f(χ1)＝0，F′(χ2)＝f(χ2)＝0． (Ⅱ)f(m)(χ)同样为(Ⅰ)中类型的函数即可写成f(m)(χ)＝[*]，其中αk，βk(k＝1，2，…，n)为常数，利用(Ⅰ)的结论，f(m)(χ)在[0，2，π)必有两个相异的零点．
解析
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考研数学二

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