已知列向量组α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β2=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论t满足什么条件时,β1,β2,β3,β4也是方程组Ax=0的一个基础解系.

admin2021-07-27  37

问题 已知列向量组α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β11+tα2,β22+tα3,β23+tα4,β44+tα1,讨论t满足什么条件时,β1,β2,β3,β4也是方程组Ax=0的一个基础解系.

选项

答案由线性相关性的定义式入手,设存在一组常数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,将β11+tα2,β22+tα3,β3==α3+tα4,β44+tα1代入得(k1+tk41+(k2+tk12+(k3+tk23+(k4+tk34=0,由于α1,α2,α3,α4线性无关,从而有[*]方程组仅有零解。当且仅当[*],即t≠±1时,β1,β2,β3,β4是方程组的基础解系.

解析
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