设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f″(x)＜0.证明：∫01f(x2)dx≤f(1/3).

admin2022-08-19 62

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f″(x)＜0.证明：∫₀¹f(x²)dx≤f(1/3).

选项

答案由泰勒公式，得f(t)=f(1/3)+f′(1/3)(t-1/3)+(f″(ξ)/2!)(t-1/3)²，其中ξ介于1/3与t之间，从而f(x)₂≤f(1/3)+f′(1/3)(x²-1/3)，积分得∫₀¹f(x²)dx≤f(1/3).

解析

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