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设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为________．
设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为________．
admin
2019-03-12
47
问题
设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y
1
(x)，y
2
(x)与y
3
(x)是二阶非齐次线性方程
yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ①
的3个解，且
≠常数，
则式①的通解为________．
选项
答案
y=C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
)+y
1
，其中C
1
，C
2
为任意常数
解析
由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
y
1
－y
2
与y
2
－y
3
均是式①对应的线性齐次方程
yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=0 ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k
1
与k
2
使
k
1
(y
1
－y
2
)+k
2
(y
2
－y
3
)=0． ③
设k
1
≠0，又由题设知y
2
－y
3
≠0，于是式③可改写为
矛盾．若k
1
=0，由y
2
－y
3
≠0，故由式③推知k
2
=0矛盾．这些矛盾证得y
1
－y
2
与y
2
－y
3
线性无关．
于是
y=C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
) ④
为式②的通解，其中C
1
，C
2
为任意常数，从而知
y=C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
)+y
1
⑤
为式①的通解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7kP4777K
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考研数学三
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