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求函数f(x)= (2-t)e-tdt的最大值与最小值.
求函数f(x)= (2-t)e-tdt的最大值与最小值.
admin
2021-09-13
48
问题
求函数f(x)=
(2-t)e
-t
dt的最大值与最小值.
选项
答案
f(x)是偶函数,只考虑在区间[0,+∞)上的情况即可. f'(x)=2x(2-x
2
)[*],令f'(x)=0,得x=√2∈(0,+∞). 由于[*] 所以x=√2是f(x)在(0,+∞)内的唯-极大值点,而 f(√2)=[*](2-t)e
-t
dt =[(t-2)e
-t
][*] =1+e
-2
, 又[*](2-t)e
-t
dt=1,即[*]f(x)=1.而且f(0)=0, 所以f(√2)是f(x)在[0,+∞]上的最大值, f(0)是f(x)在[0,+∞)上的最小值. 由于f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,+∞)内的最大值为1+e
-2
,最小值为0.
解析
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高等数学(一)题库公共课分类
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高等数学(一)
公共课
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