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设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0xf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinedx=0.证明:存在ξ∈(0,x),使得f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0xf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinedx=0.证明:存在ξ∈(0,x),使得f’(ξ)=0.
admin
2021-08-31
10
问题
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫
0
x
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinedx=0.证明:存在ξ∈(0,x),使得f’(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)sintdt,因为F(0)=F(π)=0,所以存在x∈(0,π),使得F(x)=0,即f(x
1
)sinx
1
=0,又因为sinx
1
≠0,所以f(x
1
)=0. 设x是f(x)在(0,π)内唯一的零点,则当x∈(0,π)且x≠x
1
时,有sin(x-x
1
)f(x)恒正或恒负,于是∫
0
π
sin(x-x
1
)f(x)dx≠0. 而∫
0
π
sin(x-x
1
)f(x)dx=cosx
1
∫
0
π
f(x)sinxdx-sinx
1
∫
0
π
f(x)cosxdx=0,矛盾,所以f(x)在(0,x)内至少有两个零点,不妨设f(x
1
)=f(x
2
)=0,x
1
,x
2
∈(0,π)且x
1
<x
2
,由罗尔中值定理,存在ξ∈(x
1
,x
2
)[*](0,π),使得f’(ξ)=0.
解析
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0
考研数学一
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