2. 考研
  3. 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0xf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sinedx＝0.证明：存在ξ∈(0，x)，使得f’(ξ)＝0.

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0xf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sinedx＝0.证明：存在ξ∈(0，x)，使得f’(ξ)＝0.

admin2021-08-31  10
问题 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0xf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sinedx＝0.证明：存在ξ∈(0，x)，使得f’(ξ)＝0.
选项
答案令F(x)＝∫0xf(t)sintdt，因为F(0)＝F(π)＝0，所以存在x∈(0，π)，使得F(x)＝0，即f(x1)sinx1＝0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)＝0. 设x是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x－x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x－x1)f(x)dx≠0. 而∫0πsin(x－x1)f(x)dx＝cosx1∫0πf(x)sinxdx－sinx1∫0πf(x)cosxdx＝0，矛盾，所以f(x)在(0，x)内至少有两个零点，不妨设f(x1)＝f(x2)＝0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)[*](0，π)，使得f’(ξ)＝0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7tq4777K
0

考研数学一

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)