已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.

admin2017-07-26  31

问题 已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.

选项

答案由于A3α+2A2α一3Aα=0,有 A(A2α+2α一3α)=0=0(A2α+2α一3α). 因为α,Aα,A2α线性无关,故必有A2α+2Aα一3α≠0,所以λ=0是A的特征值, A2α+2Aα一3α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量. 类似地,由A3α+2A2α一3Aα=0,有 (A—E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα), (A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα). 所以,λ=1是A的特征值,A2α+3Aα是属于λ=1的特征向量;λ=一3是A的特征值,A2α—Aα是属于λ=一3的特征向量.

解析
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