2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

admin2017-07-26  77
问题 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．
选项
答案由于A3α+2A2α一3Aα=0，有 A(A2α+2α一3α)=0=0(A2α+2α一3α)． 因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α+2Aα一3α≠0，所以λ=0是A的特征值， A2α+2Aα一3α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量． 类似地，由A3α+2A2α一3Aα=0，有 (A—E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα)， (A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)． 所以，λ=1是A的特征值，A2α+3Aα是属于λ=1的特征向量；λ=一3是A的特征值，A2α—Aα是属于λ=一3的特征向量．
解析
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考研数学三

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