设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．

admin2019-01-23 24

问题设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x³，求此凸弧的方程．

选项

答案设凸弧的方程为y=f(x)，因梯形OAPC的面积为x／2[1+f(x)]，故 x³=∫₀^xf(t)dt－[*][1+f(x)]．两边对x求导，则得y=f(x)所满足的微分方程为 xy’－y=－6x²－1．(原方程中令x=0得0=0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为y=e^∫1／xdx[C－∫(6x+[*])e^{－∫1／xdx}dx]=Cx－6x²+1．对任意常数C，总有y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为y=5x－6x²+1． [*]

解析

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考研数学一

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