设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点(图6.4).已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.

admin2019-01-23  11

问题 设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点(图6.4).已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.

选项

答案设凸弧的方程为y=f(x),因梯形OAPC的面积为x/2[1+f(x)],故 x3=∫0xf(t)dt-[*][1+f(x)]. 两边对x求导,则得y=f(x)所满足的微分方程为 xy’-y=-6x2-1.(原方程中令x=0得0=0,不必另加条件,它与原方程等价) 其通解为y=e∫1/xdx[C-∫(6x+[*])e-∫1/xdxdx]=Cx-6x2+1. 对任意常数C,总有y(0)=1,即此曲线族均通过点A(0,1). 又根据题设,此曲线过点(1,0),即y(1)=0,由此即得C=5,即所求曲线为y=5x-6x2+1. [*]

解析
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