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设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点(图6.4).已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.
设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点(图6.4).已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.
admin
2019-01-23
11
问题
设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(x,y)为凸弧AB上的任意点(图6.4).已知凸弧与弦AP之间的面积为x
3
,求此凸弧的方程.
选项
答案
设凸弧的方程为y=f(x),因梯形OAPC的面积为x/2[1+f(x)],故 x
3
=∫
0
x
f(t)dt-[*][1+f(x)]. 两边对x求导,则得y=f(x)所满足的微分方程为 xy’-y=-6x
2
-1.(原方程中令x=0得0=0,不必另加条件,它与原方程等价) 其通解为y=e
∫1/xdx
[C-∫(6x+[*])e
-∫1/xdx
dx]=Cx-6x
2
+1. 对任意常数C,总有y(0)=1,即此曲线族均通过点A(0,1). 又根据题设,此曲线过点(1,0),即y(1)=0,由此即得C=5,即所求曲线为y=5x-6x
2
+1. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7uM4777K
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考研数学一
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