(1999年)试证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2。

admin2018-03-11 42

问题 (1999年)试证：当x＞0时，(x²一1)lnx≥(x一1)²。

选项

答案方法一：令f(x)=(x²一1)lnx一(x一1)²，易知f(1)=0。又 [*] 可见，当0＜x＜1时，f⁽³⁾(x)＜0，故f"(x)单调递减；当1＜x＜+∞时，f⁽³⁾(x)＞0，故f"(x)单调递增。因此，f"(1)=2为f"(x)的最小值，即当00，所以f′(x)为单调增函数。又因为f′(1)=0，所以当0＜x＜1时f′(x)＜0；当1＜x＜+∞)时f′(x)＞0，所以利用函数单调性可知，f(1)为f(x)的最小值，即f(x)≥f(1)=0。所以当x＞0时，(x²一1)lnx≥(x一1)²。方法二：先对要证的不等式作适当变形，当x=1时，原不等式显然成立；当0＜x＜1时，原不等式等价于[*] 当1＜x＜+∞时，原不等式等价于[*] 令[*]则 [*] 又因为f(1)=0，利用函数单调性可知：当0＜x＜1时，f(x)＜0，即[*]当1＜x＜+∞时，f(x)＞0，即[*] 综上所述，当x＞0时，(x²一1)lnx≥(x一1)²。

解析

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