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设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续且严格单调增加,又设则φ(x)在区间(一∞,+∞)上( )
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续且严格单调增加,又设则φ(x)在区间(一∞,+∞)上( )
admin
2016-04-14
64
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续且严格单调增加,又设
则φ(x)在区间(一∞,+∞)上( )
选项
A、严格单调减少.
B、严格单调增加.
C、存在极大值点.
D、存在极小值点.
答案
B
解析
令上式分子为
Ф(x)=(x—a)f(x)一∫
a
x
f(t)dt
=(x一a)f(x)一(x一a)f(ξ)
=(x—a)[f(x)一f(ξ)],
其中,当a<x时,a<ξ<x,从而f(ξ)<f(x);当a>x时,a>ξ>x,从而f(ξ)>f(x).所以不论a<x还是a>x,总有Ф(x)>0.所以当x≠a时φ’(x)>0.从而知在区间(一∞,a)与(a,+∞)上φ(x)均为严格单调增加.
以下证明在区间(一∞,+∞)上φ(x)也是严格单调增加.事实上,设x
2
∈(a,+∞),则
其中a<ξ
2
<x
2
<+∞,此ξ
2
可取在开区间(a,x
2
)内.
同理,设x
1
∈(一∞,a),则有
φ(x)一φ(x
1
)=f(a)一f(ξ
1
)>0,
其中一∞<x
1
<ξ
1
<a.合并以上两个不等式,有φ(x
2
)一φ(x
1
)>0.
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考研数学一
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