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设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )
admin
2021-01-25
60
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
m－1
线性表示，记向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β，则( )
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、α
m
可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、α
m
可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．
答案
B
解析
由题设条件，存在常数k
1
，k
2
，…，k
m
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=β (*)
且必有k
m
≠0(否则k
m
=0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得
即α
m
可由(Ⅱ)线性表示．
另一方面，如果α
m
可由(Ⅰ)线性表示：
α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m－1
α
m－1
将上式代入(*)式，则得
β=(k
1
+k
m
λ
1
)α
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)α
2
+…+(k
m－1
+k
m
λ
m－1
)α
m－1
即β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾，故α
m
不能由(Ⅰ)线性表示．
综合以上两方面的结果，即知B正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7ux4777K
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考研数学三
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