2. 考研
  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )

admin2021-01-25  97
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则(    )
选项 A、αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．
答案B
解析 由题设条件，存在常数k1，k2，…，km使得
k1α1+k2α2+…+kmαm=β      (*)
且必有km≠0(否则km=0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得

即αm可由(Ⅱ)线性表示．
另一方面，如果αm可由(Ⅰ)线性表示：
αm=λ1α1+λ2α2+…+λm－1αm－1
将上式代入(*)式，则得
β=(k1+kmλ1)α1+(k2+kmλ2)α2+…+(km－1+kmλm－1)αm－1
即β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾，故αm不能由(Ⅰ)线性表示．
综合以上两方面的结果，即知B正确．
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考研数学三

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