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设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( )
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( )
admin
2021-01-25
97
问题
设向量β可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,记向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β,则( )
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
C、α
m
可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
D、α
m
可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.
答案
B
解析
由题设条件,存在常数k
1
,k
2
,…,k
m
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=β (*)
且必有k
m
≠0(否则k
m
=0,则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示,这与已知条件矛盾).于是得
即α
m
可由(Ⅱ)线性表示.
另一方面,如果α
m
可由(Ⅰ)线性表示:
α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m-1
α
m-1
将上式代入(*)式,则得
β=(k
1
+k
m
λ
1
)α
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)α
2
+…+(k
m-1
+k
m
λ
m-1
)α
m-1
即β可由(Ⅰ)线性表示,这与已知条件矛盾,故α
m
不能由(Ⅰ)线性表示.
综合以上两方面的结果,即知B正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7ux4777K
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考研数学三
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