设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )

admin2021-01-25 64

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m－1，β，则( )

选项 A、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、α_m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、α_m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．

答案B

解析由题设条件，存在常数k₁，k₂，…，k_m使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=β (*)
且必有k_m≠0(否则k_m=0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得

即α_m可由(Ⅱ)线性表示．
另一方面，如果α_m可由(Ⅰ)线性表示：
α_m=λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_m－1α_m－1
将上式代入(*)式，则得
β=(k₁+k_mλ₁)α₁+(k₂+k_mλ₂)α₂+…+(k_m－1+k_mλ_m－1)α_m－1
即β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾，故α_m不能由(Ⅰ)线性表示．
综合以上两方面的结果，即知B正确．

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考研数学三

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