2. 考研
  3. (1990年)设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式 f(a+b)≤f(a)+f(b) 其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

(1990年)设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式 f(a+b)≤f(a)+f(b) 其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2019-05-11  56
问题 (1990年)设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式
    f(a+b)≤f(a)+f(b)
其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案要证f(a+b)≤f(a)+f(b)，就是要证明f(a+b)一f(a)一f(b)≤0． 又f(0)=0，所以，只要证明f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)≤0． 而f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)=[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)] =f’(ξ2)a一f’(ξ1)n=a[f’(ξ2)一f’(ξ1)] 0≤ξ1≤a，b≤ξ2≤a+b 又f’(x)单调减少，则f’(ξ2)≤f’(ξ1)，从而有f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)≤0． 故 f(a+b)≤f(a)+f(b)
解析
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考研数学三

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