2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，|λE－A|=|λE－B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．

(1)设A，B为n阶矩阵，|λE－A|=|λE－B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．

admin2020-03-05  22
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE－A|=|λE－B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．
选项
答案(1)因为|λE－A|=|λE－B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B都可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 [*] 由P1－1AP1=P2－1BP2得(P1P2－1)－1A(P1P2－1)=B， 取P1P2－1=P，则P－1AP=B，即A～B． (2)由|λE－A| [*] =(λ－1)2(λ－2)=0得A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1； 由|λE－B| [*] =(λ－1)2(λ－2)=0得B的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1． [*] A的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为α2 [*] B的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为β2 [*] 则P－1AP=B．
解析
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考研数学一

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