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(2005年试题,19)设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数. 求函数φ(y)的表达式.
(2005年试题,19)设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数. 求函数φ(y)的表达式.
admin
2013-12-27
82
问题
(2005年试题,19)设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
的值恒为同一常数.
求函数φ(y)的表达式.
选项
答案
记[*]785由(I)的结论知:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线c上有[*]说明Pdx+Qdy为某一全微分(右半平面上),从而[*](1)而[*]代入(1)式得2y
5
+4y
3
φ(y)一y
4
φ
’
(y)=2x
2
(φ
’
(y)+2y)(2)令F(y)=2y
5
+4y
3
φ
’
(y)一y
4
φ
’
(y),A(y)=φ
’
(y)+2y,则(2)式成立的[*]F(y)=2A(y)x
2
如果A(y)≠0,则[*]因为x,y是独立自变量,所以左式不可能成立,因此A(y)≡0,从而F(y)=0,且A(y)=0.由此得如下两个方程:2y
5
+4y
3
φ(y)一y
4
φ
’
(y)=0(3)φ
’
(y)+2y=0(4)由(4)式得φ(y)=一y
2
+C,代入(3)式定积分常数C:2y
5
+4y
3
(一y
2
+C)一y
4
(一2y)=0化简得4y
3
C=0,推出C=0.所以φ(y)=一y
2
.[*]
解析
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考研数学一
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