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  3. (2005年试题，19)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数． 求函数φ(y)的表达式．

(2005年试题，19)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数． 求函数φ(y)的表达式．

admin2013-12-27  110
问题 (2005年试题，19)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数．
求函数φ(y)的表达式．
选项
答案记[*]785由(I)的结论知：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线c上有[*]说明Pdx+Qdy为某一全微分(右半平面上)，从而[*](1)而[*]代入(1)式得2y5+4y3φ(y)一y4φ’(y)=2x2(φ’(y)+2y)(2)令F(y)=2y5+4y3φ’(y)一y4φ’(y)，A(y)=φ’(y)+2y，则(2)式成立的[*]F(y)=2A(y)x2如果A(y)≠0，则[*]因为x，y是独立自变量，所以左式不可能成立，因此A(y)≡0，从而F(y)=0，且A(y)=0．由此得如下两个方程：2y5+4y3φ(y)一y4φ’(y)=0(3)φ’(y)+2y=0(4)由(4)式得φ(y)=一y2+C，代入(3)式定积分常数C：2y5+4y3(一y2+C)一y4(一2y)=0化简得4y3C=0，推出C=0．所以φ(y)=一y2．[*]
解析
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考研数学一

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