2. 考研
  3. 设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明： {an}为收敛数列。

设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明： {an}为收敛数列。

admin2021-06-16  110
问题 设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明：
{an}为收敛数列。
选项
答案由于0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),因此有 an+1－an=f(an)－an≤0(n=1,2,…), 即{an}为单调减少数列，又因a1≥0,f(x)≥0，an+1=f(an),所以an≥0(n=1,2,..). 综上可知{an}单调减少且有下界，故必为收敛数列。
解析
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考研数学二

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