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设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明: {an}为收敛数列。
设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明: {an}为收敛数列。
admin
2021-06-16
112
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续,满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a
1
≥0,a
n+1
=f(a
n
)(n=1,2,…),证明:
{a
n
}为收敛数列。
选项
答案
由于0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),因此有 a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
≤0(n=1,2,…), 即{a
n
}为单调减少数列,又因a
1
≥0,f(x)≥0,a
n+1
=f(a
n
),所以a
n
≥0(n=1,2,..). 综上可知{a
n
}单调减少且有下界,故必为收敛数列。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/86y4777K
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考研数学二
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