(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 72

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

考研数学二

设常数α≤α＜β≤b，曲线Γ：y＝(χ∈[α，β])的孤长为l．(Ⅰ)求证：l＝；(Ⅱ)求定积分J＝．

已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

设f(χ)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝[∫01f(χ)dχ]2．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

判断下面级数的敛散性：

①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．③设A和B是两个

设A=，求A的特征值，并证明A不可以对角化．

设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：

驾驶人将机动车交给驾驶证被吊销的人驾驶的，交通警察依法扣留驾驶证。

“在ISBT128条码中的每一个条码特征都有3个分开的自我校验机制”，体现了ISBT128条码的哪项特征

仪表盘应可靠接地，接地电阻一般为4Ω，最大不超过(　　)。

在计算最低监管资本的时候，保险的风险缓释影响将被认可，其中一个前提条件是保险人的理赔支付能力评级最低为()。

在会计报表审计中，注册会计师必须使用分析性复核程序的阶段是(　　)。　　　　　　　审计计划阶段　　实质性测试阶段　　审计报告阶段

国家信用主要是指国家的负债，其主要信用工具是()。

简述学校情境中成就动机的构成。

Mostplantscanmaketheirownfoodfromsunlight,(1)_____somehavediscoveredthatstealingisaneasierwaytolive,Thousan

HighwaysEarlyinthe20thcentury,mostofthestreetsandroadsintheU.S.weremadeofdirt,brick,andcedarwoodblock

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设f(χ)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝[∫01f(χ)dχ]2．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

判断下面级数的敛散性：

①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．③设A和B是两个

设A=，求A的特征值，并证明A不可以对角化．

设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

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驾驶人将机动车交给驾驶证被吊销的人驾驶的，交通警察依法扣留驾驶证。

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