(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 84

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

考研数学二

设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

设f(x)在[0，]上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，ω∈(0，)，使得f’(ξ)=ηsin2ξf"(ω)．

已知线性方程组(1)a，b为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

求下列极限：

设f(x)在x=0处连续，且，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_______

求极限

设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．

PLC进行程序调试时直接进行现场调试即可。()

两汉历史散文达到高度发展阶段的标志是________，它开创了传记文学之先河。

下列哪些不是卵巢良性肿瘤的并发症

房地产市场上可能会存在两宗完全一样的房地产产品。()

某投标联合体，其投标文件内未附联合体各方的共同投标协议，则(　　)。

在这样一个电子阅读如此方便的时代，曾经作为城市文化符号的实体书店已经走到了十字路口。面对网络的冲击和市场经济的压力，生存还是灭亡。已成为一个非常严肃的话题。这段文字作者的态度为()。

下列有关苏绣的表述正确的有()。

区别普通教师和优秀教师的真正标志是()。

玉米的正常市场价格为每公斤1．86元到2．18元，近期某地玉米价格涨至每公斤2．68元。经测算，向市场每投放储备玉米100吨，每公斤玉米价格可下降0．05元。为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过()。

(1)MarkTwain’sinstructionswerequiteclear:hisautobiographywastoremainunpublisheduntil100yearsafterhisdeath.Who

(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

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设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

设f(x)在[0，]上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，ω∈(0，)，使得f’(ξ)=ηsin2ξf"(ω)．

已知线性方程组(1)a，b为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

求下列极限：

设f(x)在x=0处连续，且，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_______

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设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．

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房地产市场上可能会存在两宗完全一样的房地产产品。()

某投标联合体，其投标文件内未附联合体各方的共同投标协议，则( )。

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区别普通教师和优秀教师的真正标志是()。

玉米的正常市场价格为每公斤1．86元到2．18元，近期某地玉米价格涨至每公斤2．68元。经测算，向市场每投放储备玉米100吨，每公斤玉米价格可下降0．05元。为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过()。

(1)MarkTwain’sinstructionswerequiteclear:hisautobiographywastoremainunpublisheduntil100yearsafterhisdeath.Who

某投标联合体，其投标文件内未附联合体各方的共同投标协议，则(　　)。