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设矩阵A=。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求: (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵。
设矩阵A=。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求: (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵。
admin
2019-07-16
82
问题
设矩阵A=
。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求:
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)正交矩阵Q,使Q
T
AQ为对角矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)线性方程组Ax=β有解但不唯一,即有无穷多解→r(A)=[*]<n=3,将增广矩阵作初等行变换,得 [*] 因为方程组Ax=β有解但不唯一,所以r(A)=[*]<3,故a=一2。 (Ⅱ)由(Ⅰ),有 [*] 故A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=一3,λ
3
=3。 当λ
1
=0时,得方程组(0E—A)x=0的同解方程组为 [*] 可见,r(0E一A)=2,可知基础解系的个数为n一r(0E—A)=3—2=1,故有一个自由未知量,选x
2
为自由未知量,取x
2
=1,解得对应的特征向量为ξ
1
=(1,1,1)
T
。 当λ
1
=3时,得方程组(3E—A)x=0的同解方程组为 [*] 可见,r(3E—A)=2,可知基础解系的个数为n一r(3E—A)=3—2=1,故有一个自由未知量,选x
1
为自由未知量,取x
1
=1,解得对应的特征向量为ξ
2
=(1,0,一1)
T
。 当λ
1
=一3时,得方程组(一3E一A)x=0的同解方程组为 [*] 可见,r(一3E一A)=2,可知基础解系的个数为n一r(一3E—A)=3—2=1,故有一个自由未知量,选x
2
为自由未知量,取x
2
=2,解得对应的特征向量为ξ
3
=(一1,2,一1)
T
。 由于A是实对称矩阵,其不同特征值的特征向量相互正交,故这三个不同特征值的特征向量相互正交,只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8NJ4777K
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考研数学三
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