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  3. 设矩阵A=。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： (Ⅰ)a的值； (Ⅱ)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。

设矩阵A=。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： (Ⅰ)a的值； (Ⅱ)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。

admin2019-07-16  71
问题 设矩阵A=。已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：
    (Ⅰ)a的值；
    (Ⅱ)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)线性方程组Ax=β有解但不唯一，即有无穷多解→r(A)=[*]＜n=3，将增广矩阵作初等行变换，得 [*] 因为方程组Ax=β有解但不唯一，所以r(A)=[*]＜3，故a=一2。 (Ⅱ)由(Ⅰ)，有 [*] 故A的特征值为λ1=0，λ2=一3，λ3=3。 当λ1=0时，得方程组(0E—A)x=0的同解方程组为 [*] 可见，r(0E一A)=2，可知基础解系的个数为n一r(0E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x2为自由未知量，取x2=1，解得对应的特征向量为ξ1=(1，1，1)T。 当λ1=3时，得方程组(3E—A)x=0的同解方程组为 [*] 可见，r(3E—A)=2，可知基础解系的个数为n一r(3E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x1为自由未知量，取x1=1，解得对应的特征向量为ξ2=(1，0，一1)T。 当λ1=一3时，得方程组(一3E一A)x=0的同解方程组为 [*] 可见，r(一3E一A)=2，可知基础解系的个数为n一r(一3E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x2为自由未知量，取x2=2，解得对应的特征向量为ξ3=(一1，2，一1)T。 由于A是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化， [*]
解析
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考研数学三

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