2. 考研
  3. 设矩阵A＝，P＝，B＝P﹣1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵A＝，P＝，B＝P﹣1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2020-06-05  27
问题 设矩阵A＝，P＝，B＝P﹣1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案因为矩阵A的特征多项式为： ｜A－λE｜＝[*] ＝(7－λ)(1－λ)2 所以矩阵A的特征值是λ1＝7，λ2＝λ3＝1．根据矩阵特征值的性质可知｜A｜＝λ1λ2λ3＝7．若Ap＝λp，则A*P＝[*]．因此A*的特征值λ1*＝1，λ2*＝λ3*＝7．注意到相似矩阵具有相同的特征值，于是B＝P﹣1A*P的特征值依次为1，7，7，而矩阵B＋2E的特征值依次为3，9，9．由Ap＝λp，有A*P＝[*]．那么 B(P﹣1α)＝(P﹣1A*P)(P﹣1p)＝P﹣1A*P＝[*](P﹣1p) 从而 (B＋2E)(P﹣1p)＝[*](P﹣1p) 因为矩阵A属于特征值λ＝7的特征向量为p1＝(1，1，1)T，而属于特征值λ＝1的特征向量可取为p2＝(﹣1，1，0)T，p3＝(﹣1，0，1)T． 由P﹣1＝[*]，得P﹣1p1＝[*]．于是B＋2E属于特征值λ＝3的特征向量是c1(0，1，1)T(c1≠0)． 类似地，P﹣1p2＝(1，﹣1，0)T，P﹣1p3＝(﹣1，﹣1，1)T，则B＋2E属于特征值λ＝9的特征向量是c2(1，﹣1，0)T＋c3(﹣1，﹣1，1)T，(c2，c3不全为零)． 方法二 先分别求出A*与P﹣1．由已知条件，由 A*＝[*]．P﹣1＝[*] 从而 B＝P﹣1A*P＝[*]，B＋2E＝[*] 因为矩阵B＋2E的特征多项式为： ｜(B＋2E)－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－9)(λ2－12λ＋27) ＝﹣(λ－9)2(λ－3) 所以B＋2E的特征值为9，9，3． 当λ＝9时，解方程[(B＋2E)－9E]x＝0，由 (B＋2E)－9E＝[*] 得基础解系p1＝(﹣1，1，0)T，p2＝(﹣2，0，1)T，所以对应λ＝9的特征向量是c1p1＋c2p2，其中c1，c2不全为0． 当λ＝3时，解方程[(B＋2E)－3E]x＝0．由 [(B＋2E)－3E]＝[*] 得基础解系p3＝(0，1，1)T，所以属于λ＝3的特征向量为c3p3(c3≠0)．
解析
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考研数学一

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