2. 考研
  3. 设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

admin2019-12-06  58
问题 设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。
选项
答案(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A＝[*]，因为AB＝0，所以 [*]， 从而 [*] 解得 [*] 下求A的特征值有 [*]， 得A的特征值为0，6，﹣6。 当λ＝0时，求解线性方程组(0E－A)x＝0，解得α1＝(1，0，1)T； 当A＝6时，求解线性方程组(6E－A)x＝0，解得α2＝(﹣1，﹣2，1)T； 当λ＝﹣6时，求解线性方程组(﹣6E－A)X＝0，解得α3＝(﹣1，1，1)T。 将α1，α2，α3单位化得 [*]。 令 Q＝(β1，β2，β3)， [*]， 则二次型在正交变换x＝Qy下的标准形为f＝6y22－6y32，其中 [*]。 (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)＝2，r(B)＝1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。
解析
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考研数学二

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