设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

admin2019-12-06 75

问题设二次型x^TAx＝ax₁²＋2x₂²－x₃²＋8x₁x₂＋2bx₁x₃＋2cx₂x₃，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝

。
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

选项

答案(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A＝[*]，因为AB＝0，所以 [*]，从而 [*] 解得 [*] 下求A的特征值有 [*]，得A的特征值为0，6，﹣6。当λ＝0时，求解线性方程组(0E－A)x＝0，解得α₁＝(1，0，1)^T；当A＝6时，求解线性方程组(6E－A)x＝0，解得α₂＝(﹣1，﹣2，1)^T；当λ＝﹣6时，求解线性方程组(﹣6E－A)X＝0，解得α₃＝(﹣1，1，1)^T。将α₁，α₂，α₃单位化得 [*]。令 Q＝(β₁，β₂，β₃)， [*]，则二次型在正交变换x＝Qy下的标准形为f＝6y₂²－6y₃²，其中 [*]。 (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)＝2，r(B)＝1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。

解析

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考研数学二

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设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝。 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

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