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设函数f(x)处处可导,且又设x0为任意一点,数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1,2,…),试证:当n→∞时,数列{xn}的极限存在.
设函数f(x)处处可导,且又设x0为任意一点,数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1,2,…),试证:当n→∞时,数列{xn}的极限存在.
admin
2019-12-26
63
问题
设函数f(x)处处可导,且
又设x
0
为任意一点,数列{x
n
}满足x
n
=f(x
n-1
)(n=1,2,…),试证:当n→∞时,数列{x
n
}的极限存在.
选项
答案
先证{x
n
}单调. 由x
n+1
-x
n
=f(x
n
)-f(x
n-1
)=(x
n
-x
n-1
)f′(ξ
n
),其中ξ
n
在x
n
与x
n-1
之间. 又由已知条件,f(x)处处可导,且[*]于是知f′(ξ
n
)≥0,从而(x
n+1
-x
n
)与(x
n
-x
n-1
)同号,故 {x
n
}单调. [*] 故由单调有界准则知,数列{x
n
}的极限存在.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8WD4777K
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考研数学三
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