2. 考研
  3. 设函数f(x)处处可导，且又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

设函数f(x)处处可导，且又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

admin2019-12-26  102
问题 设函数f(x)处处可导，且又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．
选项
答案先证{xn}单调． 由xn+1－xn=f(xn)－f(xn－1)=(xn－xn－1)f′(ξn)，其中ξn在xn与xn－1之间． 又由已知条件，f(x)处处可导，且[*]于是知f′(ξn)≥0，从而(xn+1－xn)与(xn－xn－1)同号，故 {xn}单调． [*] 故由单调有界准则知，数列{xn}的极限存在．
解析
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考研数学三

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