设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A－1的每行元素之和均为

admin2019-01-05 15

问题设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A^－1的每行元素之和均为

选项

答案(1)将A中各列加到第一列，得 [*] 若a=0，则｜A｜=0，这与A是可逆阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α₁，α₂，…，α_n]，A^－1=[β₁，β₂，…，β_n]，E=[e₁，e₂，…，e_n]，由A^－1A=E，得 A^－1[α₁，α₂，…，α_n]=[e₁，e₂，…，e_n]， A^－1α_j=e_j，j=l，…，n， A^－1α₁+A^－1α₂+…+A^－1α_n=e₁+e₂+…+e_n， A^－1(α₁+α₂+…+α_n)=A^－1[*] 另一方面，A^－1[*]=[β₁，β₂，…，β_n][*]=a(β₁+β₂+…+β_n)．比较以上两式，得证 [*] 得证A^－1的每行元素之和为[*]

解析

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