2. 考研
  3. (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=(x0，y0=0，(x0，y0>0，(x0，y0)

(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=(x0，y0=0，(x0，y0>0，(x0，y0)

admin2015-05-07  48
问题 (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点．
    (Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=(x0，y0=0，(x0，y0>0，(x0，y0)<0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导，且y(x0)=y0，求证y(x)以x=x0．为极小值点．
选项
答案(Ⅰ)先求y(0)：由x=arctant知，x=0[*]t=0，x>0(<0)[*]t>0(<0)．由y=ln(1－t2)－siny知，x=0[*]y=－siny[*]y=0(y+siny[*])．因此y(0)=0，下面求[*]并判断它，在x=0邻域的正负号． [*] 其中δ>0是充分小的数．因此x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)由隐函数求导法知y’(x)满足 [*] 令x=x0，相应地y=y0，由F’x(x0，y0)=0，F’y(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导， 并注意y=y(x)即得 [*] 再令x=x0，相应地y=y0，y’(x0)=0，得 [*] 因此x=x0是y=y(x)的极小值点
解析
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考研数学一

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