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下列四个等式中不成立的是________。 其中D:x2+y2≤1,D1:x2+y2≤1,x≥0,y≥0
下列四个等式中不成立的是________。 其中D:x2+y2≤1,D1:x2+y2≤1,x≥0,y≥0
admin
2022-10-08
47
问题
下列四个等式中不成立的是________。
其中D:x
2
+y
2
≤1,D
1
:x
2
+y
2
≤1,x≥0,y≥0
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
A等式是正确的。因为积分区域对称于 y轴,被积函数关于x是奇函数,将该二重积分化为累次积分,且首先对x积分时,将是奇函数在对称的积分区间上的积分,故积分值为零。
B等式是成立的。因为积分区域D对称于x轴和y轴,被积函数只出现x及y的平方项,其图形对称于xOz及yOz平面,故D上的积分可以用D
1
上积分的4倍来表示(上述等式的几何意义是:中心在原点的上半球,等于它的第一卦限部分的4倍)。
C等式是成立的。因为这时被积函数f(x,y)= |xy|也对称于xOz和yOz平面。
D等式不成立。积分区域D虽仍然对称于x轴,y轴,但被积函数对x,y均为奇函数,其在一、三象限是正的,二、四象限是负的,故D上的积分不能为D
1
上积分的4倍,而是0(被积函数f(x,y)=xy的几何图形是一个马鞍面)。
故应选D。
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考研数学三
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