设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．

admin2016-10-20 76

问题设三元二次型x^TAx=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂-2x₂x₃-2ax₁x₃的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A³-5A+E，求二次型x^TBx的规范形．

选项

答案(Ⅰ)二次型矩阵是A=[*] 由于r(A)=p+q=2，所以｜A｜=-(a-1)²(a+2)=0．若a=1，则r(A)=1不合题意，舍去．若a=-2，由特征多项式｜λE-A｜=[*]=λ(λ-3)(λ+3)，得出A的特征值为±3与0．p=q=1合于所求．故a=-2．当λ=3时，由(3E-A)x=0，得特征向量α₁=(1，0，1)^T；当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，得特征向量α₂=(1，-2，-1)^T；当λ=0时，由(0E-A)x=0，得特征向量α₃=(-1，-1，1)^T．由于特征值不同特征向量已正交，单位化得 [*] 那么令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则经正交变换x=Qy，有f=x^TAx=y^TAy=3y₁²-3y₂²． (Ⅱ)如Aα=λα，则Aⁿα=λⁿα，那么 Bα=(A³-5A+E)α=(λ³-5λ+1)α．因为A的特征值是3，-3，0，所以B的特征值是13，-11，1．从而x^TBx的规范形是 y₁²+y₂²-y₃²．

解析

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考研数学三

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设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．

考研数学三

[*]

[*]

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关，并计算积分值：

求下列曲面的面积：(1)平面3x＋2y＋z＝1被椭圆柱面2x2＋y2＝1截下的部分；

设m，n∈Z＋，证明：当x→0时，(1)o(xm)＋o(xn)＝o(xl)，l＝min｛m，n｝；(2)o(xm)×o(xn)＝o(xm＋n)；(3)若α是x→0时的无穷小，则αxm＝o(xm)；(4)o(kxn)＝o(xn(k≠0)．

设a＝3i＋5j－2k，b＝2i＋j＋9k，试求λ的值，使得(1)λa＋b与z轴垂直；(2)λa＋b与a垂直，并证明此时｜λa＋b｜取最小值．

y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________.

命题①f(x)，g(x)在xn点的某邻域内都无界，则f(x)，g(x)在xn点的该邻域内一定无界；②limf(x)=∞，limg(x)=∞，则lim[f(x)g(x)]=∞；③f(x)及g(x)在xn点的某邻域内均有界，则f(x)，g(x)在xo的该邻域内

设f(x，y)在(x0，y0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x0，y0)+n(x一x0)+b(y—y0)+。(p)(p→o)，其中a，b为常数，，则

润滑剂具有润滑、冷却、防锈和密封等作用。(　　　　　)

与是以其对象是否是特定的为标准所作的分类。

A．2．0～3．5B．3．5～5．0C．6．7～7．0D．7．0E．7．5～8．5胃黏液层靠近上皮细胞侧的pH约为

致病性葡萄球菌能产生多种溶血素，其中对人有致病作用的主要是

甲欠乙十万元久不归还，乙反复催讨。某日，甲持凶器闯入乙家，殴打乙致其重伤，迫乙交出十万元欠条并在已备好的还款收条上签字。关于甲的行为性质，下列哪一选项是正确的?(2010年卷二17题)

中央银行的负债业务包括()。

下列各项中，属于企业市场营销组合中产品策略的有()。(2014年)

标志着中国半殖民地半封建社会基本形成的不平等条约是()。

2014年是“和平共处五项原则”发表60周年，下列与其发表时间相同的历史事件是：

Itlookedjustlikeanotheraircraftfromtheoutside.Thepilottoldhisyoungpassengersthatitwasbuiltin1964.Butappear

设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．

考研数学三

[*]

[*]

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关，并计算积分值：

求下列曲面的面积：(1)平面3x＋2y＋z＝1被椭圆柱面2x2＋y2＝1截下的部分；

设m，n∈Z＋，证明：当x→0时，(1)o(xm)＋o(xn)＝o(xl)，l＝min｛m，n｝；(2)o(xm)×o(xn)＝o(xm＋n)；(3)若α是x→0时的无穷小，则αxm＝o(xm)；(4)o(kxn)＝o(xn(k≠0)．

设a＝3i＋5j－2k，b＝2i＋j＋9k，试求λ的值，使得(1)λa＋b与z轴垂直；(2)λa＋b与a垂直，并证明此时｜λa＋b｜取最小值．

y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________.

命题①f(x)，g(x)在xn点的某邻域内都无界，则f(x)，g(x)在xn点的该邻域内一定无界；②limf(x)=∞，limg(x)=∞，则lim[f(x)g(x)]=∞；③f(x)及g(x)在xn点的某邻域内均有界，则f(x)，g(x)在xo的该邻域内

设f(x，y)在(x0，y0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x0，y0)+n(x一x0)+b(y—y0)+。(p)(p→o)，其中a，b为常数，，则

润滑剂具有润滑、冷却、防锈和密封等作用。( )

________与________是以其对象是否是特定的为标准所作的分类。

A．2．0～3．5B．3．5～5．0C．6．7～7．0D．7．0E．7．5～8．5胃黏液层靠近上皮细胞侧的pH约为

致病性葡萄球菌能产生多种溶血素，其中对人有致病作用的主要是

甲欠乙十万元久不归还，乙反复催讨。某日，甲持凶器闯入乙家，殴打乙致其重伤，迫乙交出十万元欠条并在已备好的还款收条上签字。关于甲的行为性质，下列哪一选项是正确的?(2010年卷二17题)

中央银行的负债业务包括()。

下列各项中，属于企业市场营销组合中产品策略的有()。(2014年)

标志着中国半殖民地半封建社会基本形成的不平等条约是()。

2014年是“和平共处五项原则”发表60周年，下列与其发表时间相同的历史事件是：

Itlookedjustlikeanotheraircraftfromtheoutside.Thepilottoldhisyoungpassengersthatitwasbuiltin1964.Butappear

润滑剂具有润滑、冷却、防锈和密封等作用。(　　　　　)

与是以其对象是否是特定的为标准所作的分类。