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设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1,(Ⅰ)求a的值,并用正交变换化二次型为标准形;(Ⅱ)如B=A3-5A+E,求二次型xTBx的规范形.
设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1,(Ⅰ)求a的值,并用正交变换化二次型为标准形;(Ⅱ)如B=A3-5A+E,求二次型xTBx的规范形.
admin
2016-10-20
47
问题
设三元二次型x
T
Ax=x
1
2
+ax
2
2
+x
3
2
+2x
1
x
2
-2x
2
x
3
-2ax
1
x
3
的正、负惯性指数都是1,(Ⅰ)求a的值,并用正交变换化二次型为标准形;(Ⅱ)如B=A
3
-5A+E,求二次型x
T
Bx的规范形.
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵是A=[*] 由于r(A)=p+q=2,所以|A|=-(a-1)
2
(a+2)=0. 若a=1,则r(A)=1不合题意,舍去.若a=-2,由特征多项式 |λE-A|=[*]=λ(λ-3)(λ+3), 得出A的特征值为±3与0.p=q=1合于所求.故a=-2. 当λ=3时,由(3E-A)x=0,得特征向量α
1
=(1,0,1)
T
; 当λ=-3时,由(-3E-A)x=0,得特征向量α
2
=(1,-2,-1)
T
; 当λ=0时,由(0E-A)x=0,得特征向量α
3
=(-1,-1,1)
T
. 由于特征值不同特征向量已正交,单位化得 [*] 那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则经正交变换x=Qy,有f=x
T
Ax=y
T
Ay=3y
1
2
-3y
2
2
. (Ⅱ)如Aα=λα,则A
n
α=λ
n
α,那么 Bα=(A
3
-5A+E)α=(λ
3
-5λ+1)α. 因为A的特征值是3,-3,0,所以B的特征值是13,-11,1.从而x
T
Bx的规范形是 y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8aT4777K
0
考研数学三
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