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  3. 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．

设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．

admin2016-10-20  62
问题 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．
选项
答案(Ⅰ)二次型矩阵是A=[*] 由于r(A)=p+q=2，所以｜A｜=-(a-1)2(a+2)=0． 若a=1，则r(A)=1不合题意，舍去．若a=-2，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ-3)(λ+3)， 得出A的特征值为±3与0．p=q=1合于所求．故a=-2． 当λ=3时，由(3E-A)x=0，得特征向量α1=(1，0，1)T； 当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，得特征向量α2=(1，-2，-1)T； 当λ=0时，由(0E-A)x=0，得特征向量α3=(-1，-1，1)T． 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得 [*] 那么令Q=(γ1，γ2，γ3)，则经正交变换x=Qy，有f=xTAx=yTAy=3y12-3y22． (Ⅱ)如Aα=λα，则Anα=λnα，那么 Bα=(A3-5A+E)α=(λ3-5λ+1)α． 因为A的特征值是3，-3，0，所以B的特征值是13，-11，1．从而xTBx的规范形是 y12+y22-y32．
解析
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考研数学三

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