2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)0，令an= ∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)0，令an= ∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

admin2019-06-28  66
问题 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)<0且=a>0，令an=
∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．
选项
答案因为f’(x)<0，所以f(x)单调减少． 又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])， 所以{an}单调减少． 因为an=[*][f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1) 且[*]，所以存在X>0，当x>X时，f(x)>0． 由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)>0，所以[*]存在． [*]
解析
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考研数学二

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