设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)0，令an= ∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

admin2019-06-28 55

问题设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)<0且

=a>0，令a_n=

∫₁ⁿf(x)dx．证明：{a_n}收敛且0≤

≤f(1)．

选项

答案因为f’(x)<0，所以f(x)单调减少．又因为a_n+1-a_n=f(n+1)-∫_nⁿ⁺¹f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{a_n}单调减少．因为a_n=[*][f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫_k^k+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1) 且[*]，所以存在X>0，当x>X时，f(x)>0．由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故a_n≥f(n)>0，所以[*]存在． [*]

解析

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考研数学二

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