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(数学一)已知方程x12+3x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2x2x3=4的图形为柱面,求a及柱面母线的方向,并说出此柱面的名称.
(数学一)已知方程x12+3x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2x2x3=4的图形为柱面,求a及柱面母线的方向,并说出此柱面的名称.
admin
2020-06-05
45
问题
(数学一)已知方程x
1
2
+3x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
=4的图形为柱面,求a及柱面母线的方向,并说出此柱面的名称.
选项
答案
令f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+3x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
,则一定存在一个正交变换x=Py,使得f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=(Py)
T
A(Py)=y
T
(P
T
AP)=y
T
[*]y,其中x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,y=(y
1
,y
2
,y
3
)
T
,P
T
AP=[*]=diag(λ
1
,λ
2
,λ
3
),这里λ
i
是二次型矩阵A的特征值.此时方程x
1
2
+3x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
=4在正交变换x=Py下转化为方程λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=4.注意到正交变换具有保持几何图形的不变性,要使得方程x
1
2
+3x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
=4的图形为柱面,只要方程λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=4的图形为柱面,为此可得到λ
i
(i=1,2,3)有一个等于零,那么二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵的行列式只等于零,即[*]=0,也就是a=1.此时矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =﹣λ(λ-1)(λ-4) 进而A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=4,于是曲面的标准方程为 y
2
2
+4y
3
2
=4 这是一个椭圆柱面. 从柱面的标准方程知该柱面的母线平行y
1
轴,故柱面母线方向向量在Oy
1
y
2
y
3
坐标系中的坐标为(1,0,0)
T
,因而在Ox
1
x
2
x
3
坐标系中的坐标为 [*] 即知柱面母线的方向向量就是对应λ=0的特征向量p
1
由 A-0E=[*] 得Ax=0的基础解系p
1
=[*](1,0,﹣1)
T
,所以柱面母线的方向向量为(1,0,﹣1)
T
.
解析
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考研数学一
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