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设随机变量X的概率密度为f(χ)=ae-2|χ|(-∞<χ<+∞),随机变量Y1=|X|,Y2=X2. (Ⅰ)确定常数a的值; (Ⅱ)讨论X与Yi(i=1,2)的相关性与独立性.
设随机变量X的概率密度为f(χ)=ae-2|χ|(-∞<χ<+∞),随机变量Y1=|X|,Y2=X2. (Ⅰ)确定常数a的值; (Ⅱ)讨论X与Yi(i=1,2)的相关性与独立性.
admin
2019-02-26
50
问题
设随机变量X的概率密度为f(χ)=ae
-2|χ|
(-∞<χ<+∞),随机变量Y
1
=|X|,Y
2
=X
2
.
(Ⅰ)确定常数a的值;
(Ⅱ)讨论X与Y
i
(i=1,2)的相关性与独立性.
选项
答案
(Ⅰ)1=∫
-∞
+∞
f(χ)dχ=a∫
-∞
+∞
e
-2|χ|
dχ=2a∫
0
+∞
e
-2χ
dχ=a[*]a=1. (Ⅱ)EX=∫
-∞
+∞
χf(χ)dχ=∫
-∞
+∞
χe
-2|χ|
dχ=0, EXY
1
=EX|X|=∫
-∞
+∞
χ|χ|ee
-2|χ|
dχ=0, cov(X,Y
1
)=EXY
1
-EXEY
1
=0. 从cov(X
1
,Y
1
)=0可得X与Y
1
不相关. 对于任何正实数b:0<b<+∞,有0<P{X≤b}<1,但是 P{X≤b,Y
1
≤b}=P{X≤b,|X|≤b}=P{|X|≤b}=P{Y
1
≤b}, P{X≤b}P{Y
1
≤b}<P{Y
1
≤b}. 由于当b>0时,P{X≤b,Y
1
≤b}≠P{X≤b}P{Y
1
≤b},因此X与Y
1
不独立.我们的结论是X与Y
1
不相关,但是它们不独立. 类似地有EXY
2
=EXX
2
=EX
3
=0,cov(X,Y
2
)=EXY
2
-EXEY
2
=0. 因此,X与Y
2
亦不相关. 对任何实数c>0,P{X≤c}<1.但是当c>1时,事件{X≤c}[*]{X
2
≤c}. P{X≤c,Y
2
≤c}=P{X≤c,X
2
≤c}=P{X
2
≤c}=P{Y
2
≤c}, P{X≤c}P{Y
2
≤C}<P{Y
2
≤c}. 由于P{X≤c,Y
2
≤c}≠P{X≤c}P{Y
2
≤c},因此X与Y
2
也不独立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8h04777K
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考研数学一
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