已知n阶矩阵A,B,C,其中B,C均可逆,且2A=AB-1+C,则A=( ).

admin2022-04-10  27

问题 已知n阶矩阵A,B,C,其中B,C均可逆,且2A=AB-1+C,则A=(    ).

选项 A、C(2E—B)
B、C(E一B)
C、B(2B—E)-1C
D、C(2B—E)-1B

答案D

解析 解矩阵方程常先作恒等变形,其次要正确运用矩阵的运算法则.做乘法时,要说清楚是左乘还是右乘,特别要注意(A±B)-1≠A-1±B-1
仅(D)入选.由于2A=AB-1+C,有
    2A—AB-1=C,  且  A(2E—B-1)=C,
又C可逆,则
    A(2E—B-1)C-1=E,
故A可逆,且得
A=[(2E-B-1)C-1]-1=C(2B-1B-B-1)-1
=C[B-1(2B-E)]-1=C(2B—E)-1B.
注意  化简(2E—B-1)-1时常见下述错误:
    (2E-B-1)-1=(2E)-1一(B-1)-1E—B,
或    (2E-B-1)-1=2E-B.
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的,一定要防止这种错误!
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