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设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
admin
2019-01-15
50
问题
设φ
1
(x)，φ
2
(x)，φ
3
(x)为二阶非齐次线性方程y
’’
+a
1
(x)y
’
+a
2
(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
选项
A、C
1
[φ
1
(x)+φ
2
(x)]+C
2
φ
3
(x)
B、C
1
[φ
1
(x)+φ
2
(x)]+C
2
φ
3
(x)
C、C
1
[φ
1
(x)+φ
2
(x)]+C
2
[φ
1
(x)-φ
3
(x)]
D、C
1
φ
1
(x)+C
2
φ
2
(x)+C
3
φ
3
(x)，其中C
1
+C
2
+C
3
=1
答案
D
解析
因为φ
1
(x)，φ
2
(x)，φ
3
(x)为方程y
’’
+a
1
(x)y
’
+a
2
(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ
1
(x)-φ
3
(x)，φ
2
(x)-φ
3
(x)为所对应齐次方程y
’’
+a
1
(x)y
’
+a
2
(x)y=0的两个线性无关解。
根据非齐次线性方程通解的结构，方程y
’’
+a
1
(x)y
’
+a
2
(x)y=f(x)的通解为
C
1
[φ
1
(x)-φ
3
(x)]+C
2
[φ
2
(x)-φ
3
(x)]+φ
3
(x)，
也就是C
1
φ
1
(x)+C
2
φ
2
(x)+C
3
φ
3
(x)，其中C
3
=1-C
1
-C
2
或C
1
+C
2
+C
3
=1。故选D。
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考研数学三
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