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设正数列{an}满足a1=a2=1，an=an-1+a2，n=3，4，5，…，且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1／2)+(1／22)+(2／23)+(3／24)+(5／25)+(8／26)+(13／27)+(an-1／2n-1)+(an／2n
设正数列{an}满足a1=a2=1，an=an-1+a2，n=3，4，5，…，且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1／2)+(1／22)+(2／23)+(3／24)+(5／25)+(8／26)+(13／27)+(an-1／2n-1)+(an／2n
admin
2021-04-16
91
问题
设正数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1，a
n
=a
n-1
+a
2
，n=3，4，5，…，且
已知某常数项级数的部分和为S
n
=(1／2)+(1／2
2
)+(2／2
3
)+(3／2
4
)+(5／2
5
)+(8／2
6
)+(13／2
7
)+(a
n-1
／2
n-1
)+(a
n
／2
n
)(n≥1)
(1)证明此级数收敛；
(2)求出此级数的和S。
选项
答案
(1)设级数的通项为b
n
则b
n
=S
n
-S
n-1
=a
n
／2
n
(n≥2)，b
1
=a
1
／2，说明级数为正项级数，因为 [*] 由正项级数的比值判别法可知级数[*]收敛。 (2)因为S=1／2+1／2
2
+2／2
3
+3／2
4
+5／2
5
+8／2
6
+13／2
7
+…+a
n-1
／2
n
+a
n
／2
n
+…，(1／2)S =1／2
2
+1／2
3
+2／2
4
+3／2
5
+5／2
6
+8／2
7
+13／2
8
+…+a
n-1
／2
n
+a
n
／2
n+1
+…， 二式相减，得 (1／2)S=1／2+1／2
2
(1／2+1／2
2
+2／2
3
+3／2
4
+5／2
5
+…+a
n-1
／2
n
+a
n
／2
n
+…)=1／2+(1／4)S，因此，级数的和S=2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8px4777K
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考研数学三
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