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设正数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+a2,n=3,4,5,…,且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1/2)+(1/22)+(2/23)+(3/24)+(5/25)+(8/26)+(13/27)+(an-1/2n-1)+(an/2n
设正数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+a2,n=3,4,5,…,且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1/2)+(1/22)+(2/23)+(3/24)+(5/25)+(8/26)+(13/27)+(an-1/2n-1)+(an/2n
admin
2021-04-16
99
问题
设正数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1,a
n
=a
n-1
+a
2
,n=3,4,5,…,且
已知某常数项级数的部分和为S
n
=(1/2)+(1/2
2
)+(2/2
3
)+(3/2
4
)+(5/2
5
)+(8/2
6
)+(13/2
7
)+(a
n-1
/2
n-1
)+(a
n
/2
n
)(n≥1)
(1)证明此级数收敛;
(2)求出此级数的和S。
选项
答案
(1)设级数的通项为b
n
则b
n
=S
n
-S
n-1
=a
n
/2
n
(n≥2),b
1
=a
1
/2,说明级数为正项级数,因为 [*] 由正项级数的比值判别法可知级数[*]收敛。 (2)因为S=1/2+1/2
2
+2/2
3
+3/2
4
+5/2
5
+8/2
6
+13/2
7
+…+a
n-1
/2
n
+a
n
/2
n
+…,(1/2)S =1/2
2
+1/2
3
+2/2
4
+3/2
5
+5/2
6
+8/2
7
+13/2
8
+…+a
n-1
/2
n
+a
n
/2
n+1
+…, 二式相减,得 (1/2)S=1/2+1/2
2
(1/2+1/2
2
+2/2
3
+3/2
4
+5/2
5
+…+a
n-1
/2
n
+a
n
/2
n
+…)=1/2+(1/4)S,因此,级数的和S=2。
解析
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考研数学三
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