设正数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+a2,n=3,4,5,…,且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1/2)+(1/22)+(2/23)+(3/24)+(5/25)+(8/26)+(13/27)+(an-1/2n-1)+(an/2n

admin2021-04-16  50

问题 设正数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+a2,n=3,4,5,…,且
    已知某常数项级数的部分和为Sn=(1/2)+(1/22)+(2/23)+(3/24)+(5/25)+(8/26)+(13/27)+(an-1/2n-1)+(an/2n)(n≥1)
    (1)证明此级数收敛;
    (2)求出此级数的和S。

选项

答案(1)设级数的通项为bn则bn=Sn-Sn-1=an/2n(n≥2),b1=a1/2,说明级数为正项级数,因为 [*] 由正项级数的比值判别法可知级数[*]收敛。 (2)因为S=1/2+1/22+2/23+3/24+5/25+8/26+13/27+…+an-1/2n+an/2n+…,(1/2)S =1/22+1/23+2/24+3/25+5/26+8/27+13/28+…+an-1/2n+an/2n+1+…, 二式相减,得 (1/2)S=1/2+1/22(1/2+1/22+2/23+3/24+5/25+…+an-1/2n+an/2n+…)=1/2+(1/4)S,因此,级数的和S=2。

解析
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