2. 考研
  3. 设正数列{an}满足a1=a2=1，an=an-1+a2，n=3，4，5，…，且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1／2)+(1／22)+(2／23)+(3／24)+(5／25)+(8／26)+(13／27)+(an-1／2n-1)+(an／2n

设正数列{an}满足a1=a2=1，an=an-1+a2，n=3，4，5，…，且 已知某常数项级数的部分和为Sn=(1／2)+(1／22)+(2／23)+(3／24)+(5／25)+(8／26)+(13／27)+(an-1／2n-1)+(an／2n

admin2021-04-16  53
问题 设正数列{an}满足a1=a2=1，an=an-1+a2，n=3，4，5，…，且
    已知某常数项级数的部分和为Sn=(1／2)+(1／22)+(2／23)+(3／24)+(5／25)+(8／26)+(13／27)+(an-1／2n-1)+(an／2n)(n≥1)
    (1)证明此级数收敛；
    (2)求出此级数的和S。
选项
答案(1)设级数的通项为bn则bn=Sn-Sn-1=an／2n(n≥2)，b1=a1／2，说明级数为正项级数，因为 [*] 由正项级数的比值判别法可知级数[*]收敛。 (2)因为S=1／2+1／22+2／23+3／24+5／25+8／26+13／27+…+an-1／2n+an／2n+…，(1／2)S =1／22+1／23+2／24+3／25+5／26+8／27+13／28+…+an-1／2n+an／2n+1+…， 二式相减，得 (1／2)S=1／2+1／22(1／2+1／22+2／23+3／24+5／25+…+an-1／2n+an／2n+…)=1／2+(1／4)S，因此，级数的和S=2。
解析
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考研数学三

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