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设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey,则常数a,b的值分别为
设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey,则常数a,b的值分别为
admin
2019-07-10
52
问题
设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b e
x
的一个特解为y=(1+x+e
x
)e
y
,则常数a,b的值分别为
选项
A、a=3,b=1.
B、a=3,b=一1
C、a=一3,b=1.
D、a=一3,b=一1.
答案
D
解析
因该方程的一个特解为
y=(1+x+e
x
)e
y
=e
x
+xe
x
+e
2x
,根据方程右端函数f(x)=be
x
可知,上述解中的e
2x
不可能是非齐次方程的特解,必对应齐次方程的通解项,从而可知对应齐次方程的特征方程有一个根为λ
1
=2.进而可知xe
x
必是非齐次方程的一个特解,不可能是齐次方程的通解项,因此齐次方程的另一特征根为λ
2
=1,于是可得齐次方程的特征方程为
(λ一2)(λ一1)=0, 即λ
2
一3λ+2=0.
齐次方程为y’’一3y’+2y=0.
设非齐次方程为y’’一3y’+2y=f(x),将y=xe
x
代入可求得f(x)=一e
x
.因此原方程为y’’一3y’+2y=一e
y
,
可见a=一3,b=一1,应选(D).
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考研数学三
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