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  3. 设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为

设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为

admin2019-07-10  73
问题 设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=b ex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为
选项 A、a=3，b=1．
B、a=3，b=一1
C、a=一3，b=1．
D、a=一3，b=一1．
答案D
解析 因该方程的一个特解为
    y=(1+x+ex)ey=ex+xex+e2x，根据方程右端函数f(x)=bex可知，上述解中的e2x不可能是非齐次方程的特解，必对应齐次方程的通解项，从而可知对应齐次方程的特征方程有一个根为λ1=2．进而可知xex必是非齐次方程的一个特解，不可能是齐次方程的通解项，因此齐次方程的另一特征根为λ2=1，于是可得齐次方程的特征方程为
(λ一2)(λ一1)=0，  即λ2一3λ+2=0．
齐次方程为y’’一3y’+2y=0．
设非齐次方程为y’’一3y’+2y=f(x)，将y=xex代入可求得f(x)=一ex．因此原方程为y’’一3y’+2y=一ey，
可见a=一3，b=一1，应选(D)．
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考研数学三

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