(2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

admin2021-01-19 86

问题 (2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A．

选项

答案(I)依题意，因为[*]所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)^T是A属于3的特征向量．又因为Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂，所以α₁，α₂是矩阵A属于λ=0的特征向量．所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为k₁(一1，2，一1)^T+k₂(0，一1，1)^T(k₁，k₂是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)^T(k≠0为常数)． (Ⅱ)因为α₁，α₂不正交，故要做Schmidt正交化：β₁=α₁=(一1，2，一1)^T，[*]单位化：[*]令[*]则[*]

解析本题考查了抽象矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵和对角矩阵，要会求特征值与特征向量，会利用正交矩阵和对角矩阵的定义证明相关问题．

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考研数学二

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(2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

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