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(2006年试题,23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
(2006年试题,23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
admin
2021-01-19
100
问题
(2006年试题,23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(一1,2,一1)
T
,α
2
=(0,一1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A.
选项
答案
(I)依题意,因为[*]所以矩阵A的特征量是3,α=(1,1,1)
T
是A属于3的特征向量.又因为Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
,所以α
1
,α
2
是矩阵A属于λ=0的特征向量.所以矩阵A的特征值是3,0,0,且λ=0的特征向量为k
1
(一1,2,一1)
T
+k
2
(0,一1,1)
T
(k
1
,k
2
是不全为0的常数),λ=3的特征向量为k(1,1,1)
T
(k≠0为常数). (Ⅱ)因为α
1
,α
2
不正交,故要做Schmidt正交化:β
1
=α
1
=(一1,2,一1)
T
,[*]单位化:[*]令[*]则[*]
解析
本题考查了抽象矩阵的特征值与特征向量,正交矩阵和对角矩阵,要会求特征值与特征向量,会利用正交矩阵和对角矩阵的定义证明相关问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8q84777K
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考研数学二
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