2. 考研
  3. (2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

(2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

admin2021-01-19  106
问题 (2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
选项
答案(I)依题意，因为[*]所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特征向量．又因为Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以α1，α2是矩阵A属于λ=0的特征向量．所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)T(k≠0为常数)． (Ⅱ)因为α1，α2不正交，故要做Schmidt正交化：β1=α1=(一1，2，一1)T，[*]单位化：[*]令[*]则[*]
解析 本题考查了抽象矩阵的特征值与特征向量，正交矩阵和对角矩阵，要会求特征值与特征向量，会利用正交矩阵和对角矩阵的定义证明相关问题．
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考研数学二

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