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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=xe1—xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=xe1—xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。
admin
2019-06-06
33
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=
xe
1—x
f(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1一
)f(ξ)成立。
选项
答案
[*] 故kf(1)=kηe
1—η
f(η),即f(1)=ηe
1—η
f(η)。 再令φ(x)=xe
1—x
f(x),则φ(0)=0,φ(1)=f(1),所以φ(1)=f(1)=φ(η),由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,即 [*]
解析
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考研数学二
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