设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

admin2022-10-12 80

问题设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

选项

答案由泰勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(0-x)²，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+f"(η)/2!(1-x)²，η∈(x，1)．两式相减得f’(x)=1/2[f"(ξ)x²-f"(η)(1-x)²]，取绝对值得｜f’(x)｜≤M/2[x²+(1-x)²]，因为x²≤x，(1-x)²≤1-x，所以x²+(1-x)²≤1，故｜f’(x)｜≤M/2．

解析

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考研数学三

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