设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

admin2020-03-10  58

问题 设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

选项

答案必要性,设BTAB为正定矩阵,按定义[*]≠0,恒有xT(BTAB)x>0. 即[*]≠0,恒有(Bx)TA(Bx)>0.即[*]≠0,恒有Bx≠0. 因此,齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而r(B)=n. 充分性.因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,知BTAB为实对称矩阵. 若r(B)=n,则齐次方程组Bx=0只有零解,那么[*]≠0必有Bx≠0. 又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,恒有(Bx)TA(Bx)>0. 即当x≠0时,xT(BTAB)x>0,故BTAB为正定矩阵.

解析
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