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  3. 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2020-03-10  61
问题 设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案必要性,设BTAB为正定矩阵，按定义[*]≠0，恒有xT(BTAB)x>0． 即[*]≠0，恒有(Bx)TA(Bx)>0．即[*]≠0，恒有Bx≠0． 因此，齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而r(B)=n． 充分性．因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵． 若r(B)=n，则齐次方程组Bx=0只有零解，那么[*]≠0必有Bx≠0． 又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，恒有(Bx)TA(Bx)>0． 即当x≠0时，xT(BTAB)x>0，故BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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