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设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2020-03-10
50
问题
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性,设B
T
AB为正定矩阵,按定义[*]≠0,恒有x
T
(B
T
AB)x>0. 即[*]≠0,恒有(Bx)
T
A(Bx)>0.即[*]≠0,恒有Bx≠0. 因此,齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而r(B)=n. 充分性.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,知B
T
AB为实对称矩阵. 若r(B)=n,则齐次方程组Bx=0只有零解,那么[*]≠0必有Bx≠0. 又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,恒有(Bx)
T
A(Bx)>0. 即当x≠0时,x
T
(B
T
AB)x>0,故B
T
AB为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GjD4777K
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考研数学三
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