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设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足 y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x), y(a)=y(b)=0, 其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数q0>0使得q(x)≥q0,存在
设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足 y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x), y(a)=y(b)=0, 其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数q0>0使得q(x)≥q0,存在
admin
2018-11-16
57
问题
设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足
y
’’
(x)+p(x)y
’
(x)-q(x)y(x)=f(x),
y(a)=y(b)=0,
其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数q
0
>0使得q(x)≥q
0
,存在常数F>0使得︱f(x)︱≤F,求证:当xε[a,b]时︱y(x)︱≤
。
选项
答案
由y(x)在[a,b]上连续知y(x)在[a,b]上取得它的最大值与最小值,即存在x
1
ε[a,b]使得y(x
1
)是y(x)在[a,b]上的最大值,又存在x
2
ε[a,b]使得y(x
2
)是y(x)在[a,b]上的最小值。无妨设最大值y(x
1
)>0,而最小值y(x
2
)<0。由于y(a)=y(b)=0,可见x
1
ε[a,b],x
2
ε[a,b]。 由极大值的必要条件可得y
’
(x
1
)=0,y
’’
(x
1
)≤0,从而在最大值点x=x
1
处有f(x
1
)= y
’’
(x
1
)+p(x
1
)y
’
(x
1
)-q(x
1
)y(x
1
)=y
’’
(x
1
)- q(x
1
)y(x
1
)→q(x
1
)y(x
1
)=y
’’
(x
1
-f(x
1
)≤-f(x
1
)→y(x
1
)≤[*]。 类似由极小值的必要条件可得y
’
(x
2
)=0,y
’’
(x
2
)≥0,从而在最小值点x=x
2
处有f(x
2
)=y
’’
(x
2
)+p(x
2
)y
’
(x
2
)-q(x
2
)y(x
2
)=y
’’
(x
2
)-q(x
2
)y(x
2
)→q(x
2
)y(x
2
)=y
’’
(x
2
)-f(x
2
)≥-f(x
2
)→y(x
2
)≥[*]。 综合以上的讨论即得当xε[a,b]时有[*]。
解析
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0
考研数学三
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