2. 考研
  3. 设有微分方程y’－2y=q(x)，其中试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足微分方程，且满足条件y(0)=0．

设有微分方程y’－2y=q(x)，其中试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足微分方程，且满足条件y(0)=0．

admin2020-03-10  59
问题 设有微分方程y’－2y=q(x)，其中试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足微分方程，且满足条件y(0)=0．
选项
答案所给一阶线性方程，其右端函数为一个分段函数q(x)，因此求解时要按q(x)的分段情况即分区间x<1和x>1分别求解，然后再利用连续性和和初始条件确定未知常数，将两个解合成一个解．由于已给定初始条件y(0)=0，可先求x<1时的解，将y(0)=0作为初始条件确定任意常数． 当x<1时，有y’-2y=q(x)=2，易求得其通解为y=C1e2x－1(x＜1)． 利用y(0)=0，可确定常数C1=1．于是 y=e2x－1(x＜1)． ① 当x>1时，有y’-2y=0，其通解易求得为y=C2e2x(x＞1)． 注意到所求得的解y=y(x)要在(－∞，+∞)内连续，因而在x=1处也连续，于是有y(1－0)=y(1+0)=y(1)．而由①式知y(1)=e2－1．于是由[*]得C2=1－e-2．故x＞1时，y=(1－e-2)e2x． 综上所述， [*]
解析
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考研数学三

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