设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E－A｜＝__________。

admin2020-02-28 71

问题设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E－A｜＝__________。

选项

答案2^2n－r

解析由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且｜A｜＝±1。
由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得
P^﹣1AP＝diag(1，1，…，1，﹣1，﹣1，…，﹣1)，
其中1有r个，﹣1有n－r个。
所以｜3E－A｜＝｜P(3E－P^﹣1AP)P^﹣1｜＝｜P｜｜3E－P^﹣1AP｜｜P^﹣1｜＝｜3E－P^﹣1AP｜，注意到3E－P^﹣1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n－r个4，所以
｜3E－A｜＝2^r4^n－r＝2^2n－r。

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