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设A为n阶实对称正交矩阵,且1为A的r重特征根,则|3E-A|=__________。
设A为n阶实对称正交矩阵,且1为A的r重特征根,则|3E-A|=__________。
admin
2020-02-28
44
问题
设A为n阶实对称正交矩阵,且1为A的r重特征根,则|3E-A|=__________。
选项
答案
2
2n-r
解析
由于A为n阶实对称正交矩阵,所以A可以相似对角化,且|A|=±1。
由A可以相似对角化可知,存在可逆矩阵P,使得
P
﹣1
AP=diag(1,1,…,1,﹣1,﹣1,…,﹣1),
其中1有r个,﹣1有n-r个。
所以|3E-A|=|P(3E-P
﹣1
AP)P
﹣1
|=|P||3E-P
﹣1
AP||P
﹣1
|=|3E-P
﹣1
AP|,注意到3E-P
﹣1
AP是对角矩阵,对角线上有r个2,n-r个4,所以
|3E-A|=2
r
4
n-r
=2
2n-r
。
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