2. 考研
  3. 设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E－A｜＝__________。

设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E－A｜＝__________。

admin2020-02-28  76
问题 设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则｜3E－A｜＝__________。
选项
答案22n－r
解析 由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且｜A｜＝±1。
由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得
    P﹣1AP＝diag(1，1，…，1，﹣1，﹣1，…，﹣1)，
其中1有r个，﹣1有n－r个。
所以｜3E－A｜＝｜P(3E－P﹣1AP)P﹣1｜＝｜P｜｜3E－P﹣1AP｜｜P﹣1｜＝｜3E－P﹣1AP｜，注意到3E－P﹣1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n－r个4，所以
｜3E－A｜＝2r4n－r＝22n－r。
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考研数学二

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