(16年)设函数y(x)满足方程y"+2y’+ky=0,其中0<k<1. (I)证明:反常积分∫0+∞y(x)dx收敛; (Ⅱ)若y(0)=1,y’(0)=1,求∫0+∞y(x)dx的值.

admin2017-04-20  25

问题 (16年)设函数y(x)满足方程y"+2y’+ky=0,其中0<k<1.
(I)证明:反常积分∫0+∞y(x)dx收敛;
(Ⅱ)若y(0)=1,y’(0)=1,求∫0+∞y(x)dx的值.

选项

答案(I)微分方程y"+2y’+ky=0的特征方程为λ2+2λ+k=0. [*] 综上可知,反常积分∫0+∞y(x)dx收敛. (Ⅱ)由(I)知,λ1<0,λ2<0,所以 [*] 又y(0)=1,y’(0)=1,所以 [*]

解析
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