2. 考研
  3. (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y＝f(χ)，求证：χ＝0是y＝f(χ)的极大值点． (Ⅱ)设F(χ，y)在(χ0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(χ0，y0)＝F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)＞0，F〞χχ(χ0，y0)＜0

(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y＝f(χ)，求证：χ＝0是y＝f(χ)的极大值点． (Ⅱ)设F(χ，y)在(χ0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(χ0，y0)＝F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)＞0，F〞χχ(χ0，y0)＜0

admin2016-07-20  30
问题 (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y＝f(χ)，求证：χ＝0是y＝f(χ)的极大值点．
    (Ⅱ)设F(χ，y)在(χ0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(χ0，y0)＝F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)＞0，F〞χχ(χ0，y0)＜0．由方程F(χ，y)＝0在χ0的某邻域确定的隐函数y＝y(χ)，它有连续的二阶导，且y(χ0)＝y0，求证y(χ)以χ＝χ0为极小值点．
选项
答案(Ⅰ)先求y(0)：由χ＝arctant知，χ＝0[*]＝0，χ＞0(＜0)[*]t＞0(＜0)．由y＝ln(1－t2)－siny知，χ＝0[*]y＝－siny[*]y＝0(y＋siny[*])．因此y(0)＝0，下面求[*]并判断它，在χ＝0邻域的正负号． 为求[*]，需先求[*]．由参数力 [*] 其中δ＝0是充分小的数．因此χ＝0是y＝f(χ)的极大值点． (Ⅱ)由隐函数求导法知y′(χ)满足 [*] 令χ＝χ0，相应地y＝y0，由F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)≠0得y′(χ0)＝0．将上式再对χ求导，并注意y＝y(χ)即得 [*] 再令χ＝χ0，相应地y＝y0，y′(χ0)＝0，得 [*] 因此χ＝χ0是y＝y(χ)的极小值点．
解析
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考研数学一

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