设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2为任意常数,则该方程的通解为( )

admin2022-06-09  34

问题 设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2为任意常数,则该方程的通解为(          )

选项 A、C1+y1+C2y2+y3
B、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3
C、C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3
D、C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3

答案D

解析 由于
C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3
且y1-y3与y2-y3是对应齐次微分方程的两个线性无关的解,y3是非齐次微分方程的
解,故根据非齐次线性微分方程的通解结构,知D正确
对于A,由C1y1+C2y2不是齐次微分方程的解,可知A不正确
对于B,由
C1y1+C2y2-(C1+C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3),
知B是齐次微分方程的通解,而不是非齐次微分方程的通解
对于C,由于
C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3=C1(y1+y3)+C1(y2+y3)-y3
且y1+y3与y2+y3,不是齐次微分方程的解,故C不正确
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