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设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2为任意常数,则该方程的通解为( )
设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2为任意常数,则该方程的通解为( )
admin
2022-06-09
32
问题
设线性无关的函数y
1
,y
2
,y
3
都是非齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C
1
,C
2
为任意常数,则该方程的通解为( )
选项
A、C
1
+y
1
+C
2
y
2
+y
3
B、C
1
y
1
+C
2
y
2
-(C
1
+C
2
)y
3
C、C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
答案
D
解析
由于
C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
,
且y
1
-y
3
与y
2
-y
3
是对应齐次微分方程的两个线性无关的解,y
3
是非齐次微分方程的
解,故根据非齐次线性微分方程的通解结构,知D正确
对于A,由C
1
y
1
+C
2
y
2
不是齐次微分方程的解,可知A不正确
对于B,由
C
1
y
1
+C
2
y
2
-(C
1
+C
2
)y
3
=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
),
知B是齐次微分方程的通解,而不是非齐次微分方程的通解
对于C,由于
C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
=C
1
(y
1
+y
3
)+C
1
(y
2
+y
3
)-y
3
,
且y
1
+y
3
与y
2
+y
3
,不是齐次微分方程的解,故C不正确
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考研数学二
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