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设线性无关的函数y1，y2，y3都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解为( )
设线性无关的函数y1，y2，y3都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解为( )
admin
2022-06-09
53
问题
设线性无关的函数y
1
，y
2
，y
3
都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C
1
，C
2
为任意常数，则该方程的通解为( )
选项
A、C
1
＋y
1
＋C
2
y
2
＋y
3
B、C
1
y
1
＋C
2
y
2
－(C
1
＋C
2
)y
3
C、C
1
y
1
＋C
2
y
2
－(1－C
1
－C
2
)y
3
D、C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋(1－C
1
－C
2
)y
3
答案
D
解析
由于
C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋(1－C
1
－C
2
)y
3
＝C
1
(y
1
－y
3
)＋C
2
(y
2
－y
3
)＋y
3
，
且y
1
－y
3
与y
2
－y
3
是对应齐次微分方程的两个线性无关的解，y
3
是非齐次微分方程的
解，故根据非齐次线性微分方程的通解结构，知D正确
对于A，由C
1
y
1
＋C
2
y
2
不是齐次微分方程的解，可知A不正确
对于B，由
C
1
y
1
＋C
2
y
2
－(C
1
＋C
2
)y
3
＝C
1
(y
1
－y
3
)＋C
2
(y
2
－y
3
)，
知B是齐次微分方程的通解，而不是非齐次微分方程的通解
对于C，由于
C
1
y
1
＋C
2
y
2
－(1－C
1
－C
2
)y
3
＝C
1
(y
1
＋y
3
)＋C
1
(y
2
＋y
3
)－y
3
，
且y
1
＋y
3
与y
2
＋y
3
，不是齐次微分方程的解，故C不正确
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