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设函数f(x)在[0,π]上连续,且f(x)sinxdx=0,f(x)cosxdx=0.证明:在(0,π)内.f(x)至少有两个零点.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且f(x)sinxdx=0,f(x)cosxdx=0.证明:在(0,π)内.f(x)至少有两个零点.
admin
2016-10-26
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问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
f(x)sinxdx=0,
f(x)cosxdx=0.证明:在(0,π)内.f(x)至少有两个零点.
选项
答案
反证法.如果f(x)在(0,π)内无零点(或有一个零点,但f(x)不变号,证法相同),即f(x)>0(或<0),由于在(0,π)内,亦有sinx>0,因此,必有[*]f(x)sinxdx>0(或<0).这与假设相矛盾. 如果f(x)在(0,π)内有一个零点,而且改变一次符号,设其零点为a∈(0,π),于是在(0,a)与(a,π)内f(x)sin(x-a)同号,因此[*]f(x)sin(x-a)dx≠0.但是,另一方面 [*]f(x)sin(x-a)dx=[*]f(x)(sinxcosa-cosxsina)dx =cosa[*]f(x)cosxdx=0. 这个矛盾说明f(x)也不能在(0,π)内只有一个零点,因此它至少有两个零点.
解析
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考研数学一
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