2. 考研
  3. 设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g′(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．

设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g′(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．

admin2020-03-02  20
问题 设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g′(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的(    )条件．
选项 A、充分必要
B、充分非必要
C、必要非充分
D、既非充分也非必要
答案A
解析 ①因为φ′(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；
②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．
(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察

则 φ(x)=g′(x)φ(a)，
即  F′(a)=g′(a)φ(a)．
(Ⅱ)再用反证法证明：若F′(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知 φ(x)=在x=a可导，与假设条件φ(a)在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．
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考研数学一

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