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试利用变量代换x=cost将微分方程(1-x2)化为关于y,t的方程,并求原方程的通解.
试利用变量代换x=cost将微分方程(1-x2)化为关于y,t的方程,并求原方程的通解.
admin
2020-06-10
67
问题
试利用变量代换x=cost将微分方程(1-x
2
)
化为关于y,t的方程,并求原方程的通解.
选项
答案
因x=cos t,故[*]=-sin t,于是 [*] 将x,[*]代入原方程,得 [*] 即[*]+4y=0.这是二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为 y=C
1
cos2t+C
2
sin2t. 由x=cost,作如图所示的直角三角形,故原方程的通解为 y=C
1
(2cos
2
t-1)+C
2
.2sin tcos t =C
1
(2x
2
解析
本题考查利用变量代换将不可解的微分方程化为可解的方程,其关键的运算是导数的计算.求解过程中要注意复合函数求导法则的灵活应用.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/95v4777K
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考研数学一
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