试利用变量代换x=cost将微分方程(1-x2)化为关于y，t的方程，并求原方程的通解．

admin2020-06-10 65

问题试利用变量代换x=cost将微分方程(1-x²)

化为关于y，t的方程，并求原方程的通解．

选项

答案因x=cos t，故[*]=-sin t，于是 [*] 将x，[*]代入原方程，得 [*] 即[*]+4y=0．这是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 y=C₁cos2t+C₂sin2t．由x=cost，作如图所示的直角三角形，故原方程的通解为 y=C₁(2cos²t-1)+C₂.2sin tcos t =C₁(2x²

解析本题考查利用变量代换将不可解的微分方程化为可解的方程，其关键的运算是导数的计算．求解过程中要注意复合函数求导法则的灵活应用．

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