2. 考研
  3. 已知a1=(1，4，0，2)T，a2=(2，7，1，3)T，a3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问： (Ⅰ)a，b取何值时，β不能由a1，a2，a3线性表示? (Ⅱ)a，b取何值时，β可由a1，a2，a3线性表示?并写出此表示

已知a1=(1，4，0，2)T，a2=(2，7，1，3)T，a3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问： (Ⅰ)a，b取何值时，β不能由a1，a2，a3线性表示? (Ⅱ)a，b取何值时，β可由a1，a2，a3线性表示?并写出此表示

admin2013-09-15  71
问题 已知a1=(1，4，0，2)T，a2=(2，7，1，3)T，a3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问：
  (Ⅰ)a，b取何值时，β不能由a1，a2，a3线性表示?
  (Ⅱ)a，b取何值时，β可由a1，a2，a3线性表示?并写出此表示式．
选项
答案向量β能否由a1，a2，a3线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的 问题：Ax=β，其中A=(a1，a2，a3)，x=[*] 从而A=[*]，相应的增广矩阵为B=[*] 利用初等行变换将B化为阶梯形为：[*] (I)当b≠2时，r(A)＜r(B)，此时方程组Ax=β无解，即β不能由a1，a2，a3线性 表示； (Ⅱ)当b=2，a≠1时，r(A)=r(B)且r(A)=3，此时方程组Ax=β有唯一解， 且相应的行简化阶梯形为[*]，因此该唯一解为x=[*] 因此，β可由a1，a2，a3唯一表示为β=-a1+2a2； 当b=2，a=1时，r(A)=r(B)且r(A)=2＜3，此时方程组Ax=β有无穷解， 相应的行简化阶梯形为[*] 其导出组的基础解系为(-3，3，1)T，原方程组特解为(-1，2，0)T， 则通解为C(-3，3，1)T+(-1，2，0)T，其中C为任意常数， 此时β可由a1，a2，a3表示为β=-(3C+1)a1+(3C+2)a2+Ca3．
解析
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考研数学二

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