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已知a1=(1,4,0,2)T,a2=(2,7,1,3)T,a3=(0,1,-1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问: (Ⅰ)a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示? (Ⅱ)a,b取何值时,β可由a1,a2,a3线性表示?并写出此表示
已知a1=(1,4,0,2)T,a2=(2,7,1,3)T,a3=(0,1,-1,a)T,β=(3,10,b,4)T,问: (Ⅰ)a,b取何值时,β不能由a1,a2,a3线性表示? (Ⅱ)a,b取何值时,β可由a1,a2,a3线性表示?并写出此表示
admin
2013-09-15
87
问题
已知a
1
=(1,4,0,2)
T
,a
2
=(2,7,1,3)
T
,a
3
=(0,1,-1,a)
T
,β=(3,10,b,4)
T
,问:
(Ⅰ)a,b取何值时,β不能由a
1
,a
2
,a
3
线性表示?
(Ⅱ)a,b取何值时,β可由a
1
,a
2
,a
3
线性表示?并写出此表示式.
选项
答案
向量β能否由a
1
,a
2
,a
3
线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的 问题:Ax=β,其中A=(a
1
,a
2
,a
3
),x=[*] 从而A=[*],相应的增广矩阵为B=[*] 利用初等行变换将B化为阶梯形为:[*] (I)当b≠2时,r(A)<r(B),此时方程组Ax=β无解,即β不能由a
1
,a
2
,a
3
线性 表示; (Ⅱ)当b=2,a≠1时,r(A)=r(B)且r(A)=3,此时方程组Ax=β有唯一解, 且相应的行简化阶梯形为[*],因此该唯一解为x=[*] 因此,β可由a
1
,a
2
,a
3
唯一表示为β=-a
1
+2a
2
; 当b=2,a=1时,r(A)=r(B)且r(A)=2<3,此时方程组Ax=β有无穷解, 相应的行简化阶梯形为[*] 其导出组的基础解系为(-3,3,1)
T
,原方程组特解为(-1,2,0)
T
, 则通解为C(-3,3,1)
T
+(-1,2,0)
T
,其中C为任意常数, 此时β可由a
1
,a
2
,a
3
表示为β=-(3C+1)a
1
+(3C+2)a
2
+Ca
3
.
解析
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考研数学二
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